Что значит центробежная сила. Центробежная сила – враг или союзник

Лабораторная работа № 21

ЦЕНТРОБЕЖНАЯ СИЛА

Цель работы:

Изучение законов механики в неинерциальной системе отсчета, вращающейся относительно инерциальной. Исследование зависимости величины центробежной силы от массы тела, угловой скорости и расстояния до оси вращения.

Оборудование:

Электромотор, вращающаяся платформа с тележкой, нить, динамометр, компьютерный интерфейс Cobra3, компьютер, набор грузов.

Продолжительность работы – 4 часа.

Теоретическая часть.

1. Инерциальные системы отсчета и законы механики Ньютона

Динамикой называется раздел механики, изучающий причины возникновения механического движения. Многовековые наблюдения позволяют сделать вывод, что определяющую роль здесь играет взаимодействие тел . Его количественной характеристикой является сила:

Сила – векторная физическая величина, мера взаимодействия тел.

Исторически сложилось так, что многочисленные эксперименты по выяснению связи между взаимодействием тел и характером механического движения проводились в системе отсчета, связанной с Землёй. В ходе этих экспериментов было установлено, что тело, не испытывающее воздействия со стороны других тел, сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения. Однако нетрудно видеть, что в других системах отсчета это утверждение может оказаться неверным. Например, в системе отсчета, связанной с разгоняющимся автомобилем, объекты, находящиеся за окном – деревья, здания и т.п., – движутся ускоренно в сторону, противоположную направлению движения автомобиля, хотя сумма действующих на них сил остаётся равной нулю. Таким образом, прежде чем сформулировать законы динамики, необходимо дать определение систем отсчета, о которых будет идти речь в этих законах:

Первый закон Ньютона : Существуют системы отсчета, называемые инерциальными , в которых тела сохраняют состояние покоя или равномерного прямолинейного движения при отсутствии действий на них со стороны других тел или при взаимной компенсации этих воздействий.

Все остальные системы отсчета называются неинерциальными .

Воздействие на данное тело со стороны других тел вызывает изменение его скорости, т.е. сообщает ему ускорение. Однако одинаковое воздействие сообщает разным телам разные ускорения, т.е. тела по-разному сопротивляются попыткам изменить их состояние движения. Это свойство тел называют инертностью .

Массой m называется скалярная физическая величина, являющаяся мерой инертности тела.

Второй закон Ньютона : Произведение массы тела на его ускорение равно действующей на него силе .

Подведём итоги:

· Законы механики Ньютона выполняются только в инерциальных системах отсчета.

· Единственной причиной ускоренного движения тела в инерциальной системе являются силы, действующие на него со стороны других тел.

· Если , то согласно (1) ускорение тела также будет равно нулю. Этот вывод совпадает со второй частью формулировки первого закона Ньютона. Тем не менее, его нельзя считать следствием второго закона, поскольку главным содержанием первого закона является постулат о существовании инерциальных систем отсчёта.

2. Неинерциальные системы отсчета

Можно показать, что любая система отсчета, движущаяся прямолинейно и равномерно относительно инерциальной системы, также является инерциальной (см. например, , §2.7). Из этого утверждения следует, что неинерциальной системой отсчёта является любая система, движущаяся ускоренно относительно инерциальной. Простейшими неинерциальными системами отсчета являются системы, движущиеся ускоренно прямолинейно и вращающиеся системы.

Вернёмся к рассмотренному выше примеру с разгоняющимся автомобилем. Система отсчета, связанная с ним, очевидно, является неинерциальной. Второй закон Ньютона, записанный в форме (1), в данной системе отсчета не выполняется: ускоренное движение зданий и деревьев в этой системе не является результатом действия на них каких-либо сил со стороны других тел. Будем считать, что эти ускорения вызваны действием сил особой природы, называемых силами инерции . Их существование обусловлено ускоренным движением неинерциальной системы отсчета относительно инерциальной. С учетом сказанного второй закон Ньютона в неинерциальной системе отсчета примет следующий вид:

где – ускорение тела в неинерциальной системе отсчета; – «обычные» силы, обусловленные взаимодействием тел; – силы инерции .

Отметим главные особенности сил инерции:

· Введение сил инерции даёт возможность описывать движение тел в любых системах отсчета с помощью одних и тех же уравнений движения.

· Силы инерции обусловлены не воздействием на тело со стороны других тел, а свойствами той системы отсчёта, в которой рассматриваются механические явления. В этом смысле их можно назвать «фиктивными».

3. Центробежная сила

В данной лабораторной работе исследуются силы инерции, возникающие в неинерциальной системе отсчета, вращающейся относительно лабораторной инерциальной системы. Экспериментальная установка представляет собой платформу, вращающуюся с постоянной угловой скоростью ω вокруг перпендикулярной к ней вертикальной оси Z (см. Рис. 1, а). Вместе с платформой вращается привязанная к оси вращения небольшая тележка. Свяжем с платформой подвижную систему отсчёта с осями , как это показано на рисунке. Эта система вращается относительно лабораторной инерциальной системы K с осями X , Y , Z , а значит, является неинерциальной. Рассчитаем силу инерции, действующую на тележку в этой системе отсчета.

Тележка представляет собой твердое тело сложной формы, размерами которого в условиях данной задачи пренебречь нельзя. Поэтому сначала определим силу инерции, действующую в данной неинерциальной системе отсчета на материальную точку, а затем обобщим полученный результат для случая твёрдого тела.

Рис. 1 – Схематическое изображение экспериментальной установки: а) в лабораторной (инерциальной) системе отсчета; б) в неинерциальной системе отсчета, вращающейся относительно инерциальной.

1. Рассмотрим небольшой груз массы m , подобно тележке привязанный к оси вращения нерастяжимой невесомой нитью и вращающийся вместе с платформой. На Рис.1 этот груз схематически изображён слева от оси вращения. Сила тяжести скомпенсирована реакцией опоры, поэтому её в дальнейших рассуждениях рассматривать не будем. В K -системе груз движется по окружности с постоянной скоростью. Так как направление вектора скорости непрерывно изменяется, это движение является ускоренным. Ускорение направлено к оси вращения и называется центростремительным . Его величина:

(3)

где V – линейная скорость, ω – угловая скорость, а r – расстояние до оси вращения. Связанная с данным ускорением сила также называется центростремительной и по второму закону Ньютона:

(4)

В ситуации, изображённой на Рис. 1 а, в роли центростремительной силы выступает сила натяжения нити :

В системе отсчета (см. Рис. 1, б) груз покоится, а значит, его ускорение равно нулю. Запишем уравнение второго закона Ньютона для неинерциальных систем (2), учитывая силу инерции:

(6)

Тогда для силы инерции получим:

; (7)

Эта сила инерции называется центробежной силой . Перечислим её главные особенности:

· Центробежная сила – сила инерции, которую необходимо вводить в уравнение второго закона Ньютона при описании движения в неинерциальной системе отсчета, вращающейся с постоянной угловой скоростью относительно инерциальной.

· Вектор центробежной силы направлен от оси вращения.

· Величина центробежной силы задаётся уравнением

Пусть – радиус-вектор, проведенный в неинерциальной системе отсчета к материальной точке от оси вращения. Тогда выражение для центробежной силы можно записать в векторной форме:

2. Центробежная сила, действующая на тележку, равна сумме сил, действующих на составляющие её материальные точки:

(10)

Разделим и умножим на массу тележки m и вынесем за знак суммы одинаковый для всех точек квадрат угловой скорости. В результате получим:

(11)

Выражение

задает координаты центра масс тележки в плоскости XY . Таким образом, центробежная сила, действующая на тележку, определяется по формуле:

А её абсолютное значение:

где r C – расстояние от оси вращения до центра масс тележки. Экспериментальной проверке этого соотношения и посвящена данная лабораторная работа.

Описание установки

Внешний вид экспериментальной установки показан на Рис. 2. Источником вращательного движения является электромотор (1) с возможностью регулировки скорости и направления вращения. Через передаточный ремень (2) вращение передаётся платформе (3) с установленной на ней тележкой (4). Для измерения расстояния от центра масс тележки до оси вращения на платформу нанесена сантиметровая шкала (5). К тележке привязана нить (6), которая через блок (7), отверстие в верхней части платформы и подвижный карабин подсоединена к динамометру (8), непрерывно измеряющему силу натяжения нити. Измеряемый сигнал через интерфейс Cobra3 (9) подаётся на персональный компьютер.

Рис. 2 – Внешний вид установки для измерения величины центробежной силы

Как описано в теоретической части, в идеальном случае сила натяжения нити должна быть равна центробежной силе. Однако в реальной экспериментальной установке выходное отверстие нити в верхней части платформы немного смещено относительно оси вращения. Это сделано намеренно: такая конструкция установки позволяет измерять не только центробежную силу, но и угловую скорость вращения. В самом деле, смещение приводит к тому, что в процессе вращения расстояние от верхнего отверстия до динамометра периодически изменяется. Вследствие этого периодически изменяется и сила натяжения нити, причём частота этого изменения совпадает с частотой вращения платформы. Таким образом, измерив зависимость силы натяжения от времени, мы сможем точно определить как частоту, так и угловую скорость вращения. В свою очередь центробежная сила будет равна среднему по времени значению силы натяжения.

Экспериментальная часть

Упражнение 1. Изучение зависимости центробежной силы от массы.

1. Установите на платформу пустую тележку без грузов. Закрепите нить на тележке таким образом, чтобы при натянутой нити центр тяжести тележки располагался на расстоянии 20 см от оси вращения. Следите за тем, чтобы нить была надета на жёлтый шкив.

2. Включите компьютер. Для входа в операционную систему используйте логин «Student ». Запустите программу Measure двойным щелчком по ярлыку на рабочем столе.

3. Согласно алгоритму, изложенному в Приложении 1, измерьте значения периода вращения и центробежной силы и занесите их в Таблицу 1 (масса пустой тележки 50 г). Определите погрешность величины исходя из характеристик установки и методики измерения. Погрешность измерения силы принять равной .

Таблица 1

4. Постепенно нагружая тележку с шагом 20 г, повторите измерения периода вращения и центробежной силы (п.п. 6÷10).

5. Для корректного измерения зависимости центробежной силы от массы период вращения во всех измерениях должен оставаться постоянным. Однако, частота вращения в установке регулируется достаточно грубо, и поэтому период вращения в различных измерениях может немного различаться. Это необходимо учитывать. Для каждого измерения по формуле рассчитайте угловую скорость, величину и её погрешность. При этом погрешность измерения массы можно считать равной . Результаты измерений занесите в Таблицу 1.

6. Постройте график зависимости центробежной силы от величины . По согласованию с преподавателем построение графиков можно проводить как на миллиметровой бумаге, так и на компьютере с помощью программы Measure . Процедура построения графика с помощью компьютера подробно описана в Приложении 2 .

7. Согласно формуле (14) построенная зависимость должна быть линейной. Определите угловой коэффициент прямой и сравните его с расстоянием от оси вращения до центра тяжести тележки. Сделайте вывод.

Чаще всего силы инерции проявляются статически в давлении, которое какое-либо тело, развивающее силу инерции, оказывает на другое тело, повинное в изменении состояния движения первого тела. Груз, ускоренно поднимаемый кверху, оказывает на платформу вследствие силы инерции дополнительное давление (рис. 23). Наблюдателю, тянущему канат, кажется, что груз тем более «увеличивается в весе», чем с большим ускорением его поднимают.

Рис. 23. «Увеличение веса» при поднятии с ускорением происходит за счет развиваемой телом силы инерции.

Когда давление или натяжение со стороны каких-либо тел вынуждает некоторое движущееся тело отклоняться от прямолинейного пути, мы говорим, что отклоняющееся от прямолинейного пути тело развивает центробежную силу инерции, направленную противоположно центростремительной силе, с которою тела, вызвавшие искривление траектории, давят на движущееся тело или тянут его. По закону равенства действия и противодействия эти две силы численно всегда одинаковы, поэтому центробежная сила определяется формулой

или, что то же:

Центростремительная сила направлена всегда к центру кривизны и приложена к движущемуся телу; центробежная сила равна центростремительной по величине, но направлена в противоположную сторону, т. е. от центра кривизны в сторону выпуклости траектории, и приложена к телам, вызывающим искривление траектории движущегося тела.

Массивный шар, подвешенный на прочной нити, натягивает ее при покое с силой тяжести шара но, будучи приведен в колебание, он натягивает ее с силой большей, чем его тяжесть, на величину развиваемой им центробежной силы инерции:

Автомобиль, проезжающий помосту, несколько прогибающемуся под его тяжестью, давит на мост с силой, превышающей вес автомобиля на величину центробежной силы инерции. Поэтому при прочих равных условиях давление автомобиля на вогнутый мост будет тем более велико, чем больше скорость движения автомобиля. Чтобы избежать действия центробежных сил, мосты делают обычно несколько выпуклыми (рис. 24). В этом случае вес быстро движущихся по мосту машин частью проявляется динамически, сообщая им центростремительное ускорение, направленное вниз; поэтому давление на выпуклый мост быстро проезжающих по нему машин будет меньше их веса.

На закруглениях пути колеса вагонов поезда или трамвая оказывают внешний рельс горизонтальное давление вследствие

Рис. 24 Проезжая по выпуклому мосту, автомобиль давит на моете силой, меньшей своего веса

развиваемой вагоном центробежной силы инерции. Чтобы не происходило опрокидывания вагона, равнодействующая давления, создаваемого весом вагона, и центробежной силы должна быть направлена между рельсами перпендикулярно к поверхности рельса; для этого на закруглениях внешний рельс прокладывают несколько выше внутреннего (рис. 25).

Рис. 25. На закруглениях внешний рельс укладывают выше внутреннего,

По аналогичным причинам конькобежец, описывая окружность, наклоняет свой корпус к центру окружности (рис. 26). Отметим еще раз, что на рис. 25 и 26, как это вообще принято в данном курсе, волнистыми стрелками показаны статические проявления сил (в первом случае - сил, приложенных к рельсу, во втором - ко льду). На рис. 26, кроме того, показано, как реакция опоры и вес конькобежца обеспечивают в сумме центростремительную силу, которая приложена к центру инерции конькобежца и проявляется динамически в центростремительном ускорении при движении конькобежца по дуге окружности. Точно таким же построением можно было бы дополнить и рис. 25. Центростремительное ускорение, обеспечивающее движение вагона по закруглению пути, при правильном подъеме наружного рельса (как и в случае, изображенном на рис. 26) создается за счет геометрической суммы реакции рельсов и веса вагона. Наклон полотна хотя и не устраняет горизонтальной составляющей давления колес на рельсы, но снижает (при правильном угле наклона - до нуля) боковое давление бандажей, параллельное плоскости шпал. Если бы наружный рельс не был приподнят и, таким образом, на закруглениях вагон двигался бы строго вертикально, то, кроме тенденции к опрокидыванию, развивались бы большие силы, смещающие крепление рельсов к шпалам; в этом случае центростремительная сила на закруглениях пути создавалась бы за счет указанных сил, стремящихся оторвать наружный рельс, тогда как при правильном наклоне полотна никаких смещающих сил в плоскости полотна нет, так как итоговое давление на рельсы перпендикулярно к этой плоскости,

В случаях, подобных представленному на рис. 26, центростремительная сила приложена к центру тяжести движущегося тела, а точки приложения центробежной силы определяются геометрическими условиями соприкосновения движущегося тела с телом, к которому приложена центробежная сила и противодействие которого обеспечивает кривизну траектории; поэтому указанные

численно равные силы хотя и направлены, как действие и противодействие, антипараллельно, но не по одной прямой.

Вещество вращающегося твердого тела находится в напряженном состоянии, так как каждая частица вращающегося тела развивает центробежную силу инерции, приложенную к смежным частицам тела, препятствующим рассматриваемой частице удалиться от оси вращения. Силы инерции, направленные по радиусу от центра, стремятся оторвать внешние слои вещества от внутренних.

Рис. 26 Описывая дугу окружности, конькобежец наклоняет свой корпус так, чтобы реакция льда проходила через центр тяжести тела, тогда равнодействующая реакции R и веса дает центростремительную силу

Если прочность вещества недостаточна, то при большой скорости вращения центробежные силы инерции разрушают тело, разрывая его на части. Во избежание подобных аварий все быстро вращающиеся части машин (роторы) и быстроходные маховики изготовляют из наиболее прочных металлов (обычно из стали).

О величине центробежных сил инерции во вращающихся частях машин можно судить по следующему примеру. Ротор одного из гирокомпасов при диаметре 12 см и весе 2,5 кг делает 20 000 об/мин. Центробежная сила, развиваемая на его ободе какой-либо массой, в 25 тысяч раз превышает вес этой массы.

Силы инерции часто оказывают разрушительное действие на отдельные части машин. Когда колесо насажено на ось так, что вся масса его распределена симметрично относительно оси вращения, то центробежные силы инерции, развиваемые отдельными частицами колеса, уравновешиваются на оси вращения и сказываются только в упругом натяжении вещества колеса. При очень больших скоростях это натяжение может привести к разрыву колеса. Но если масса колеса распределена относительно оси вращения несимметрично, то уже при сравнительно небольших скоростях центробежные силы инерции, которые в этом случае не уравновешиваются на оси, могут привести к поломке оси.

У колес паровоза несимметричное распределение сил инерции способно создать одностороннее давление на ось в несколько тонн; в связи с этим при вращении такого колеса давление колеса на рельс то возрастает (когда результирующая неуравновешенных центробежных сил направлена вниз), то убывает (когда она направлена вверх) - рельс как бы находится под действием ударов тяжелого молота.

При проектировании какой-либо новой машины производят детальный расчет сил инерции, которые могут возникнуть в ней при различных условиях ее работы. С проявлением неуравновешенных сил инерции приходится вести борьбу посредством точного распределения масс и согласования движений отдельных частей машины.

Но силы инерции, в частности центробежные силы, имеют в технике также и положительное применение, весьма обширное и разнообразное (работа молотов, центробежные машины, центрифуги и т. д.).

Заметим, что термин «центробежная сила» не вполне удачен; он наталкивает на неправильное понимание этой силы. Термин «центробежная сила» побуждает думать о движении от центра вращения по радиусу. Хотя центробежная сила и действует по радиусу от центра, но никакого движения в этом направлении она не вызывает и не способна вызвать потому, что она приложена к связям. Если связи, удерживавшие тело на неизменном расстоянии от центра, вдруг устранены (например, разорвалась веревка, к которой привязан камень, вращаемый нами по окружности), то двигавшееся по окружности тело будет удаляться от центра окружности, конечно, не по радиусу, а по касательной к окружности, так как оно по инерции сохранит то направление скорости, которое имело в момент разрыва связей.

Определения центробежной и центростремительной силы из разных источников и другие высказывания по этому поводу .

«..., при равномерном вращении точки по окружности величина линейной скорости остаётся постоянной, а направление изменяется. Но изменение скорости в единицу времени и есть ускорение. Следовательно, при равномерном вращении по окружности точка движется с ускорением, которое обуславливает изменение скорости по направлению. Такое ускорение называется центростремительным . Вектор центростремительного ускорения направлен к центру вращения. ...» ст. 54.
«В случае равномерного движения тела по окружности центростремительная сила - это результирующая всех сил, действующих на тело . Она приложена к телу и направлена к центру вращения. Её роль может выполнять любая сила, удерживающая тело на криволинейной траектории.
По третьему закону Ньютона в природе силы существуют только парами, следовательно, при вращательном движении наряду с центростремительной силой должна существовать вторая сила, равная ей по величине и противоположная по направлению. Такая сила называется центробежной . Если центростремительная сила приложена к телу, то центробежная - к связи.» ст. 55.
Воронецкая Л. В., Васковская В. Н. Физика. "Вища школа", 1976.

«Согласно второму закону Ньютона, эта центростремительная сила пропорциональна массе тела и сообщаемому ею этому телу ускорению. Ускорение это, называемое нормальным или центростремительным, для движения по кругу радиусом R со скоростью v равно
w n = v 2 / R . (1.4)
Величина центростремительного ускорения впервые была определена Гюйгенсом. Центростремительная сила, вызывающая это ускорение,
F ц = mv 2 / R (1.5)
и направлена, как ускорение, т. е. к центру. А центробежную силу направляют от центра, т. е. противоположно ускорению. Между тем ни одна реальная сила не может быть направлена против ускорения, создаваемого ею. Значит, сила эта фиктивная, введенная условно.» (Гулиа, скорее всего, имеет в виду инерционную центробежную силу (центробежную силу инерции) в неинерциальных системах отсчёта, однако и в этом случае этот текст противоречит многим курсам механики.)
Гулиа Н. В. Инерция. - М.: Наука, 1982. ст. 18-19.

«§ 134. Вращающиеся системы отсчёта . Теперь рассмотрим движение тел относительно систем отсчёта, вращающихся относительно инерциальных систем. Выясним, какие силы инерции действуют в этом случае. Ясно, что это будет более сложно, так как разные точки таких систем имеют разные ускорения относительно инерциальных систем отсчёта.
Начнем со случая, когда тело покоится относительно вращающейся системы отсчёта. В этом случае сила инерции должна уравновешивать все силы, действующие на тело со стороны других тел. Пусть система вращается с угловой скоростью ω, а тело расположено на расстоянии r от оси вращения и находится в равновесии в этой точке. Для того чтобы найти результирующую сил, действующих на тело со стороны других тел, можно, как и в § 128, рассмотреть движение тела относительно инерциальной системы. Это движение есть вращение с угловой скоростью ω по окружности радиуса r. Согласно § 119, результирующая направлена к оси по радиусу и равна mω 2 r , где m - масса тела. ... Эта результирующая не зависит, конечно, от того, в какой системе отсчёта рассматривается данное движение. Но относительно нашей неинерциальной системы тело покоится. Значит, сила инерции уравновешивает эту результирующую, т. е. равна массе тела, умноженной на ускорение той точки системы, где находится тело, и направлена противоположно этому ускорению. Таким образом, сила инерции также равна mω 2 r , но направлена по радиусу от оси вращения . Эту силу инерции часто называют центробежной силой инерции 1). Силы, действующие со стороны других тел на тело, покоящееся относительно вращающейся системы отсчёта, уравновешиваются центробежной силой инерции. ...

1) Не путать с центробежной силой, введенной в § 119 для обозначения силы, действующей со стороны тела, движущегося по окружности, на связь.»

Под ред. академика Г. С. Ландсберга эл. уч. физики том 1 Механика, теплота... - М:. Наука, 1973. ст. 299-300.

«§ 33. Поступательное и вращательное движение твёрдого тела .

В § 3 мы условились ограничиться описанием поведения только одной точки , произвольно выбранной на движущемся теле. И потом, рассматривая траекторию, скорость, ускорение и другие величины, мы рассчитывали их для этой одной, выбранной нами точки тела, т. е. мы построили кинематику точки . Однако несмотря на это, очень часто говорилось о траектории движения тела , о скорости движения тела и т. д. ...